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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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18. Determine la cantidad de soluciones de la ecuación $\sqrt{x-5} e^{-4(x-5)^{2}+1}=1$

Respuesta

Vamos a arrancar definiendo la función $f(x) = \sqrt{x-5} \cdot e^{-4(x-5)^{2}+1}$ y haciendo un estudio de función completo. Al final, cuando tengamos el gráfico aproximado, vamos a poder responder a la pregunta del enunciado.

1) Identificamos el dominio de $f(x)$ El dominio de $f$ es $[5, +\infty)$ 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Esta función no tiene candidatos a asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos el límite cuando $x$ tiende a $+ \infty$

$ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x-5} \cdot e^{-4(x-5)^{2}+1} $ Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero por infinito". Reescribimos como un cociente: $ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x-5}}{e^{4(x-5)^{2}-1}} $

Ahora tenemos una "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital: 

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x-5}}}{e^{4(x-5)^2 - 1} \cdot 8(x-5)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{16(x-5)^{\frac{3}{2}} e^{4(x-5)^2 - 1}} = 0 $ 

Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ en $+\infty$. 
3) Calculamos $f'(x)$:

 \( f'(x) = \frac{e^{-4(x-5)^2 + 1}}{2\sqrt{x-5}} - 8(x-5)\sqrt{x-5}e^{-4(x-5)^2 + 1} \)  4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:

$\frac{e^{-4(x-5)^2 + 1}}{2\sqrt{x-5}} - 8(x-5)\sqrt{x-5} \cdot e^{-4(x-5)^2 + 1} = 0$

Sacamos factor común la exponencial

\( f'(x) = e^{-4(x-5)^2 + 1} \left( \frac{1}{2\sqrt{x-5}} - 8(x-5)^{\frac{3}{2}} \right) \) Como la exponencial nunca es cero, para encontrar los puntos críticos igualamos a cero el término entre paréntesis: \( \frac{1}{2\sqrt{x-5}} - 8(x-5)^{\frac{3}{2}} = 0 \)

$ \frac{1}{2\sqrt{x-5}} = 8(x-5)^{\frac{3}{2}} $

$ 1 = 8(x-5)^{\frac{3}{2}} \cdot  2\sqrt{x-5} $

$ 1 = 16(x-5)^2$

Atenti como voy a seguir acá:
\( (x-5)^2 = \frac{1}{16} \) \( |x-5| = \frac{1}{4} \) De ahí, obtenemos dos posibles puntos críticos: \( x = 5 + \frac{1}{4} = \frac{21}{4} \) \( x = 5 - \frac{1}{4} = \frac{19}{4} \) Sin embargo, recordemos que el dominio de \( f(x) \) es \( x \geq 5 \), por lo que el punto \( x = \frac{19}{4} \) no está en el dominio. Entonces, el único punto crítico en el dominio es \( x = \frac{21}{4} \).

5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:

a) $5 < x < \frac{21}{4}$

b) $x > \frac{21}{4}$ 6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos: a) Para $5 < x < \frac{21}{4}$ $f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. b) Para $x > \frac{21}{4}$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente. 
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra, y de paso ya marco $y = 1$ para ir respondiendo a la pregunta del enunciado (Vos en tu hoja deberías haber buscado también cuanto vale $f(\frac{21}{4})$ para ver dónde graficabas ese punto máximo, como vimos en las clases de estudio de funciones)

2024-04-20%2017:07:32_7620087.png

Por lo tanto, mirando el gráfico vemos que la ecuación $\sqrt{x-5} e^{-4(x-5)^{2}+1}=1$ tiene dos soluciones.
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Avatar Maria 6 de octubre 22:32
holaa Flor, me podrías detallar este paso? :(2024-10-06%2022:31:38_6172132.png
Avatar Flor Profesor 7 de octubre 10:22
@Maria Hola María! A ver, acá te pongo los pasos detallados en la tablet a ver si ayuda, avisame si lo ves más claro!


2024-10-07%2010:22:12_5984667.png
Avatar Benjamin 22 de mayo 20:30
en el intervalo del 5 al 21/4 nose que cuenta hago mal pero nunca llego a que me quede algo positivo :(
Avatar Flor Profesor 23 de mayo 09:22
@Benjamin Yyyy, es justo medio cuentosa esa parte, le debes estar pifiando a algo cuando lo metés en la calculadora. Fijate que te conviene usar esta expresión de $f'(x)$

\( f'(x) = e^{-4(x-5)^2 + 1} \left( \frac{1}{2\sqrt{x-5}} - 8(x-5)^{\frac{3}{2}} \right) \)

que es cuando ya sacaste factor común la exponencial. Como vos ya sabés que la exponencial es positiva, te fijas únicamente en el signo que tiene el paréntesis, eso seguro te aliviana un poco las cuentas 
Avatar Benjamin 23 de mayo 10:41
por que la exponencial es siempre positiva?
Avatar Benjamin 22 de mayo 20:15
tambien otra cosa, siento que me esta costando el tema de despejar la verdad, como que capaz se me ocurren otras maneras y por ahi como q llego a otros resultados que son medios distintos a los que estan aca resueltos jaja, nose como mejorarlo para estar mas firme para el parcial :(
Avatar Flor Profesor 23 de mayo 09:20
@Benjamin No sos ni el primero ni el último 😔 Es muy común estar entendiendo los temas, irlos siguiendo, pero trabarse en despejes... La clave está en la práctica. Obviamente la mayoría de las veces hay más de una forma de despejar (yo acá muestro una), pero aun si siguieras otro camino deberías estar llegando al mismo resultado. 

Un consejo: Tratá de, una vez que miras la resolución, reveer lo que vos hiciste e identificar qué es lo que estaba mal, eso te va a ayudar un montón... es clave que, más allá de entender mi despeje, hayas entendido también después por qué el tuyo estaba mal, cual fue el paso que era incorrecto, asi después no lo volvés a repetir
Avatar Benjamin 23 de mayo 10:35
okey, gracias por el consejo
Avatar Benjamin 22 de mayo 20:14
buenas,no entiendo bien por que el 16 queda sobre un uno2024-05-22%2020:14:11_5898525.png
Avatar Flor Profesor 23 de mayo 09:16
@Benjamin Benja, acá fijate que pasé el $16$ dividiendo nomás entre un renglón y otro
Avatar Benjamin 23 de mayo 10:33
ahah claro claro jaja
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